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南华期货研究所
一、ETF50、ETF100与沪深300指数的介绍
沪深300的指数样本选自沪深两个证券市场，覆盖了大部分流通市值，是反映沪深两个市场整体走势的“晴雨表”。筹备中的金融期货交易所也即将推出以沪深300指数为标的的股指期货合约，所以沪深300指数以及即将推的股指期货吸引了众多市场参与者的“眼球”。
交易型开放式指数基金(ETF——Exchange Traded Fund)是一种在交易所上市交易的开放式证券投资基金产品，交易手续与股票完全相同。ETF管理的资产是一揽子股票组合，这一组合中的股票种类与某一特定指数，如上证50指数和深证100指数所包涵的成份股票相同，每只股票的数量与该指数的成份股构成比例一致，ETF交易价格取决于它拥有的一揽子股票的价值，即“单位基金资产净值”。上证50ETF和深证100ETF是一种高效的投资工具，它使得投资者买卖上证50指数和深圳100指数像买卖一只股票一样简单。
上证ETF50和ETF100分别与上证50指数和深证100指数包涵的成份股票及其所占的权重相同，所以上证50ETF与上证50指数的风险收益特征一致，深证100ETF与深证100指数的风险收益特征一致。在下面的实证研究中都是用上证50和深证100指数与沪深300指数进行的对比研究，以此来揭示ETF50和ETF100产品与沪深300指数的内在关系和风险状况，从而对即将推出的股指期货与ETF50和ETF100产品之间套利和套期保值操作中提出适当的参考意见。
二、上证50指数、深证100指数与沪深300指数的相关性分析
图1：上证50、沪深300及深证100走势对比图
上证50指数、深证100指数与沪深300指数的走势对比图如图1所示。考虑到要使三种指数分析时间保持一致性，本文在研究中选取上证50指数、深证100指数和沪深300指数样本数据区间为2005年12月21日至2006年8月8日，并且剔除了一些交易日的数据从而使三种指数在时间上匹配。
从走势对比图中可以看出，上证50和深证100指数与沪深300之间的相关性非常强，分别达到了0.997和0.998。它们之间的相关性表如表1所示。
表1：相关性表
上证50 深证100
沪深300指数 0.997 0.998
三、利用上证50指数和深证100指数的组合对沪深300指数的追踪
在证券市场上交易的ETF50和ETF100是基于上证50指数和深证100指数的指数化的投资产品。由于上证50指数和深证100指数与沪深300指数之间的相关性非常强，下面的研究中希望通过上证50和深证100的组合来追踪沪深300指数，以期在即将推出的股指期货和指数化的投资产品中提供一些参考意见。
用L上证和L深证分别代表上证50和深圳100指数，L沪深来代表沪深300指数。下面的研究希望通过两指数的组合aL上证+bL深证来追踪L沪深指数。以下通过最优化参数a、b的值，使其组合的指数化追踪误差最小。
衡量追踪效果的一个重要的标准就是跟踪误差。因为指数追踪的目的就是为了获得与目标指数一致的收益与风险。因此跟踪误差是通过拟合指数与目标指数收益率差值数据进行计算的。这里计算过程是这样的：收益率以日为基本周期；以N为考察时段；以ri，i=1,2,...,N表示拟合指数在考察时段的连续日收益率；以Ri,i=1,2,...,N表示目标指数在考察时段的连续日收益率；以di，i=1,2,...,N表示目标指数与拟合期间的连续日收益率差值，那么：
以 表示拟合指数与目标指数连续日收益率差值di，i=1,2,...,N的算术平均值
以TE表示拟合指数与目标指数之间的跟踪误差，也即连续日收益率差值di，i=1,2,...,N的标准差
两指数的线性组合aL上证+bL深证构成的追踪指数，其第i天的收益率定义为
这样将（4）式代入上式(1)—(3)就是确定?琢、b值使得满足下面的表达式：
在(4)和(5)式中可以看出最终求?摇a、b的结果只取决于a、b之间的相对大小，为了简化，这里设定a=1，b∈［０ ＋∞)，也就是b取值于正数。
(5)式的数学运算较为复杂，不容易得到一个精确的结果，下面考虑用数值图形的方法来求解。当?摇a=1，b∈(０ ,5)?摇的时候拟合指数的追踪误差TE的变化图2如下：
图2： 追踪误差的分布图